Calculadora de Valores Propios
Calculadora de valores propios y vectores propios de matrices 2x2, 3x3 y 4x4. Halla el polinomio característico y si es diagonalizable.
Ejemplos Rápidos
Ingresa valores para cada celda de la matriz
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Calculadora de Valores Propios y Vectores Propios
Calcula valores propios y vectores propios para cualquier matriz 2×2, 3×3 o 4×4 al instante. Nuestra calculadora muestra el polinomio característico, calcula todos los valores propios (incluyendo números complejos), encuentra los vectores propios correspondientes y determina si tu matriz es diagonalizable—todo con soluciones completas paso a paso.
¿Qué Son los Valores Propios y Vectores Propios?
Los valores propios (λ) y vectores propios (v) son conceptos fundamentales en álgebra lineal. Para una matriz cuadrada A, un vector propio es un vector no nulo que, al multiplicarse por A, solo se escala por un factor (el valor propio): Av = λv. Los valores propios se encuentran resolviendo la ecuación característica det(A - λI) = 0. Revelan las propiedades intrínsecas de la matriz: cómo estira, rota o refleja vectores.
Ecuación Característica
det(A - λI) = 0Cómo Calcular Valores Propios
Selecciona el tamaño de la matriz: 2×2, 3×3 o 4×4
Ingresa los elementos de la matriz en la cuadrícula de entrada (fila por fila)
O elige un ejemplo preestablecido para ver cómo se comportan diferentes tipos de matrices
Ve el polinomio característico p(λ) y todos los valores propios
Ve el vector propio correspondiente para cada valor propio
Revisa las multiplicidades algebraicas y geométricas para entender las dimensiones del espacio propio
Aplicaciones de Valores Propios
Análisis de Componentes Principales (PCA)
Encuentra los valores propios de la matriz de covarianza para identificar las direcciones más importantes de variación en tus datos.
Análisis de Vibraciones
Los valores propios determinan las frecuencias naturales de sistemas mecánicos—crítico para el diseño de puentes y edificios.
Mecánica Cuántica
Las cantidades observables en física cuántica son valores propios de operadores hermitianos que representan mediciones físicas.
Análisis de Estabilidad
Los valores propios de la matriz jacobiana de un sistema determinan si los puntos de equilibrio son estables, inestables u oscilatorios.
Google PageRank
El algoritmo PageRank usa el vector propio principal de la matriz de enlaces web para clasificar la importancia de las páginas web.
Compresión de Imágenes
La descomposición en valores propios permite la compresión de imágenes manteniendo solo los valores propios más grandes y sus vectores propios.
Por Qué Usar Esta Calculadora
Evita Errores de Cálculo
Encontrar valores propios requiere resolver ecuaciones polinómicas y cálculos cuidadosos de determinantes. Nuestra calculadora asegura resultados precisos cada vez.
Soporte para Valores Complejos
Maneja matrices con valores propios complejos (como matrices de rotación) que son difíciles de calcular a mano.
Soluciones Paso a Paso
Ve la derivación completa: polinomio característico, resolución de valores propios y cálculo de vectores propios.
Múltiples Tamaños de Matriz
Trabaja con matrices 2×2, 3×3 o 4×4—se adapta automáticamente a tus necesidades.
Análisis Completo
Obtén multiplicidades algebraicas y geométricas, además del estado de diagonalizabilidad para una caracterización completa de la matriz.
Preguntas Frecuentes
Para una matriz 2×2 [[a,b],[c,d]], resuelve la ecuación característica det(A - λI) = λ² - (a+d)λ + (ad-bc) = 0. Usa la fórmula cuadrática: λ = [(a+d) ± √((a+d)² - 4(ad-bc))] / 2. La traza (a+d) es igual a la suma de los valores propios, y el determinante (ad-bc) es igual a su producto.
Los valores propios complejos ocurren cuando el polinomio característico no tiene raíces reales—típicamente en matrices de rotación. Por ejemplo, una matriz de rotación de 90° tiene valores propios λ = ±i. Los valores propios complejos siempre vienen en pares conjugados (a+bi y a-bi) para matrices reales.
El polinomio característico es det(A - λI), donde I es la matriz identidad. Para una matriz n×n, es un polinomio de grado n en λ. Sus raíces son los valores propios. Para una matriz 2×2: λ² - traza(A)·λ + det(A).
La multiplicidad algebraica es cuántas veces aparece un valor propio como raíz del polinomio característico. La multiplicidad geométrica es la dimensión de su espacio propio (número de vectores propios linealmente independientes). Una matriz es diagonalizable si y solo si la multiplicidad algebraica = geométrica para todos los valores propios.
Una matriz es diagonalizable si tiene n vectores propios linealmente independientes (para una matriz n×n). Esto sucede cuando la multiplicidad geométrica es igual a la multiplicidad algebraica para cada valor propio. Las matrices simétricas siempre son diagonalizables. Las matrices defectivas (como las matrices de cizallamiento) no son diagonalizables.
Para cualquier matriz cuadrada: Traza = suma de todos los valores propios, Determinante = producto de todos los valores propios. Para una 2×2 con valores propios λ₁ y λ₂: traza = λ₁ + λ₂ y det = λ₁ × λ₂. Esto proporciona una forma rápida de verificar tus cálculos de valores propios.