Calcula valores propios y vectores propios de matrices 2x2, 3x3 y 4x4. Encuentra el polinomio característico, multiplicidades algebraicas y geométricas, y determina si una matriz es diagonalizable.
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Calcula valores propios y vectores propios para cualquier matriz 2×2, 3×3 o 4×4 al instante. Nuestra calculadora muestra el polinomio característico, calcula todos los valores propios (incluyendo números complejos), encuentra los vectores propios correspondientes y determina si tu matriz es diagonalizable—todo con soluciones completas paso a paso.
Los valores propios (λ) y vectores propios (v) son conceptos fundamentales en álgebra lineal. Para una matriz cuadrada A, un vector propio es un vector no nulo que, al multiplicarse por A, solo se escala por un factor (el valor propio): Av = λv. Los valores propios se encuentran resolviendo la ecuación característica det(A - λI) = 0. Revelan las propiedades intrínsecas de la matriz: cómo estira, rota o refleja vectores.
Ecuación Característica
det(A - λI) = 0Encontrar valores propios requiere resolver ecuaciones polinómicas y cálculos cuidadosos de determinantes. Nuestra calculadora asegura resultados precisos cada vez.
Maneja matrices con valores propios complejos (como matrices de rotación) que son difíciles de calcular a mano.
Ve la derivación completa: polinomio característico, resolución de valores propios y cálculo de vectores propios.
Trabaja con matrices 2×2, 3×3 o 4×4—se adapta automáticamente a tus necesidades.
Obtén multiplicidades algebraicas y geométricas, además del estado de diagonalizabilidad para una caracterización completa de la matriz.
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El algoritmo PageRank usa el vector propio principal de la matriz de enlaces web para clasificar la importancia de las páginas web.
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Para una matriz 2×2 [[a,b],[c,d]], resuelve la ecuación característica det(A - λI) = λ² - (a+d)λ + (ad-bc) = 0. Usa la fórmula cuadrática: λ = [(a+d) ± √((a+d)² - 4(ad-bc))] / 2. La traza (a+d) es igual a la suma de los valores propios, y el determinante (ad-bc) es igual a su producto.
Los valores propios complejos ocurren cuando el polinomio característico no tiene raíces reales—típicamente en matrices de rotación. Por ejemplo, una matriz de rotación de 90° tiene valores propios λ = ±i. Los valores propios complejos siempre vienen en pares conjugados (a+bi y a-bi) para matrices reales.
El polinomio característico es det(A - λI), donde I es la matriz identidad. Para una matriz n×n, es un polinomio de grado n en λ. Sus raíces son los valores propios. Para una matriz 2×2: λ² - traza(A)·λ + det(A).
La multiplicidad algebraica es cuántas veces aparece un valor propio como raíz del polinomio característico. La multiplicidad geométrica es la dimensión de su espacio propio (número de vectores propios linealmente independientes). Una matriz es diagonalizable si y solo si la multiplicidad algebraica = geométrica para todos los valores propios.
Una matriz es diagonalizable si tiene n vectores propios linealmente independientes (para una matriz n×n). Esto sucede cuando la multiplicidad geométrica es igual a la multiplicidad algebraica para cada valor propio. Las matrices simétricas siempre son diagonalizables. Las matrices defectivas (como las matrices de cizallamiento) no son diagonalizables.
Para cualquier matriz cuadrada: Traza = suma de todos los valores propios, Determinante = producto de todos los valores propios. Para una 2×2 con valores propios λ₁ y λ₂: traza = λ₁ + λ₂ y det = λ₁ × λ₂. Esto proporciona una forma rápida de verificar tus cálculos de valores propios.